Encontré un documento oficial del Reino Unido a la ONU en castellano, donde nombran a la institución como Reales Tribunales de Justicia y explican todas sus funciones. Yo lo pondría igual que ellos, el nombre inglés entre paréntesis. Ojala te sirva

http://www.unhchr.ch/tbs/doc.nsf/(Symbol)/HRI.CORE.1.Add.5.R...
96. Cada uno de los cerca de 80 jueces que integran el Alto Tribunal de Justicia es destinado inicialmente a una sala, pero puede ser trasladado a otra mientras siga en funciones. Fuera de Londres, en donde actúa a través de los Reales Tribunales de Justicia (Royal Courts of Justice), el Alto Tribunal actúa por intermedio de 29 tribunales centrales. Para la vista de las causas en primera instancia, los magistrados del Alto Tribunal actúan solos. Los recursos de apelación en asuntos civiles contra tribunales inferiores se ven en tribunales de dos (o, a veces, tres) jueces, o ante un solo juez de la sala pertinente, designado por el Lord Canciller.