forthwith on demand = по первому требованию
indemnify = 1) обеспечивать защиту от убытков/ущерба, 2) компенсировать понесенные убытки/ущерб (см. ссылку). Варианты словосочетаний в переводе могут быть разными, мне больше всего нравится "предоставлять возмещение, защиту и неприкосновенность"

Оператор обязуется по первому требованию предоставлять компании MTV (равно как и ее материнской компании, полному партнеру, директорам, нанятым работникам и агентам) возмещение, защиту и неприкосновенность в связи с любыми обязательствами, ущербом, расходами, убытками, претензиями или издержками, возникающими у компании MTV в результате нарушения Оператором любых его обязательств по настоящему Договору.